PhÇn I: C¸c bµi to¸n vÒ ®a thøc
1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
Bµi 1: Cho ®a thøc P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
TÝnh P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P(
)
H.DÉn:
- LËp c«ng thøc P(x)
- TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i c¸c ®iÓm: dïng chøc n¨ng

- KÕt qu¶: P(1,25) = ; P(4,327) =
P(-5,1289) = ; P(
) =
Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 t¹i x = 0,53241
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 t¹i x = -2,1345
H.DÉn:
- ¸p dông h»ng ®¼ng thøc: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta cã:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 =

Tõ ®ã tÝnh P(0,53241) =
T­¬ng tù:
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) =

Tõ ®ã tÝnh Q(-2,1345) =
Bµi 3: Cho ®a thøc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. TÝnh P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.DÉn:
B­íc 1: §Æt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ BËc H(x) nhá h¬n bËc cña P(x)
+ BËc cña H(x) nhá h¬n sè gi¸ trÞ ®· biÕt cña P(x), trongbµi bËc H(x) nhá h¬n 5, nghÜa lµ:
Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
B­íc 2: T×m a1, b1, c1, d1, e1 ®Ó Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tøc lµ:

( a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1
VËy ta cã: Q(x) = P(x) - x2
V× x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 lµ nghiÖm cña Q(x), mµ bËc cña Q(x) b»ng 5 cã hÖ sè cña x5 b»ng 1 nªn: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
( P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2.
Tõ ®ã tÝnh ®­îc: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =
Bµi 4: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. TÝnh P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.DÉn:
- Gi¶i t­¬ng tù bµi 3, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Tõ ®ã tÝnh ®­îc: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =
Bµi 5: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. TÝnh

H.DÉn:
- Gi¶i t­¬ng tù bµi 4, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) +
. Tõ ®ã tÝnh ®­îc:

Bµi 6: Cho ®a thøc f(x) bËc 3 víi hÖ sè cña x3 lµ k, k ( Z tho¶ m·n:
f(1999) = 2000; f(2000) = 2001
Chøng minh r»ng: f(2001) - f(1998) lµ hîp sè.
H.DÉn:
* T×m ®a thøc phô: ®Æt g(x) = f(x) + (ax + b). T×m a, b ®Ó g(1999) = g(2000) = 0

( g(x) = f(x) - x - 1
* TÝnh gi¸ trÞ cña f(x):
- Do bËc cña f(x) lµ 3 nªn bËc cña g(x) lµ 3 vµ g(x) chia hÕt cho:
(x - 1999), (x - 2000) nªn: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)
( f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1.
Tõ ®ã tÝnh ®­îc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) lµ hîp sè.
Bµi 7: Cho ®a thøc f(x) bËc 4, hÖ sè cña bËc cao nhÊt lµ 1 vµ tho¶ m·n:
f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. TÝnh gi¸ trÞ A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.DÉn:
- §Æt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. T×m a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 ( a, b, c lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh:

( b»ng MTBT ta gi¶i ®­îc:

( g(x) = f(x) - x2 - 2
- V× f(x) bËc 4 nªn g(x) còng cã bËc lµ 4 vµ g(x) chia hÕt cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vËy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) ( f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2.
Ta tÝnh ®­îc: A = f(-2) + 7f(6) =
Bµi 8: Cho ®a thøc f(x) bËc 3. BiÕt f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
T×m f(10) = ? (§Ò thi HSG CHDC §øc)
H.DÉn:
- Gi¶ sö f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. V× f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nªn:

lÊy 3 ph­¬ng tr×nh cuèi lÇn l­ît trõ cho ph­¬ng tr×nh ®Çu vµ gi¶i hÖ gåm 3 ph­¬ng tr×nh Èn a, b, c trªn MTBT cho ta kÕt qu¶:

(
(

Bµi 9: Cho ®a thøc f(x) bËc 3 biÕt r»ng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) ®Òu ®­îc d­ lµ 6 vµ f(-1) = -18. TÝnh f(2005) = ?
H.DÉn:
- Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: f(1) = f(2) = f(3) = 6 vµ cã f(-1) = -18
- Gi¶i t­¬ng tù nh­ bµi 8, ta cã f(x) = x3 - 6x2 + 11x
Tõ ®ã tÝnh ®­îc f(2005) = Bµi 10: Cho ®a thøc

a) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chøng minh r»ng P(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn
Gi¶i:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 th× (tÝnh trªn m¸y) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 vµ x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 lµ nghiÖm cña ®a thøc P(x) nªn

V× gi÷a 9 sã nguyªn liªn tiÕp lu«n t×m ®­îc c¸c sè chia hÕt cho 2, 5, 7, 9 nªn víi mäi x nguyªn th× tÝch:
chia hÕt cho 2.5.7.9 (tÝch cña c¸c sè nguyªn tè cïng nhau). Chøng tá P(x) lµ sè nguyªn víi mäi x nguyªn.
Bµi 11: Cho hµm sè
. H·y tÝnh c¸c tæng sau:




H.DÉn:
* Víi hµm sè f(x) ®· cho tr­íc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò sau:
NÕu a + b = 1 th× f(a) + f(b) = 1
* ¸p dông bæ ®Ò trªn, ta cã:
a)



b) Ta cã
. Do ®ã:








2. T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia hai ®a thøc:
Bµi to¸n 1: T×m d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (ax + b)
C¸ch gi¶i:
- Ta ph©n tÝch: P(x) = (ax + b)Q(x) + r (
( r =

Bµi 12: T×m d­ trong phÐp chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)
Gi¶i:
- Ta cã: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r (
( r =

TÝnh trªn m¸y ta ®­îc: r =
=
Bµi to¸n 2: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x + a)
C¸ch gi¶i:
- Dïng l­îc ®å Hoocner ®Ó t×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x + a)
Bµi 13: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)
H.DÉn: - Sö dông l­îc ®å Hoocner, ta cã:

1
0
-2
-3
0
0
1
-1

-5
1
-5
23
-118
590
-2950
14751
-73756

* TÝnh trªn m¸y tÝnh c¸c gi¸ trÞ trªn nh­ sau:

5



1



0
(-5) : ghi ra giÊy -5





2
(23) : ghi ra giÊy 23




3
(-118) : ghi ra giÊy -118




0
(590) : ghi ra giÊy 590




0
(-2950) : ghi ra giÊy -2950




1
(14751) : ghi ra giÊy 14751




1
(-73756) : ghi ra giÊy -73756
x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756
Bµi to¸n 3: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (ax +b)
C¸ch gi¶i:
- §Ó t×m d­: ta gi¶i nh­ bµi to¸n 1
- §Ó t×m hÖ sè cña ®a thøc th­¬ng: dïng l­îc ®å Hoocner ®Ó t×m th­¬ng trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x +
) sau ®ã nh©n vµo th­¬ng ®ã víi
ta ®­îc ®a thøc th­¬ng cÇn t×m.
Bµi 14: T×m th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
Gi¶i:
- Thùc hiÖn phÐp chia P(x) cho
, ta ®­îc:
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 =

. Tõ ®ã ta ph©n tÝch:
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2.
.
.

= (2x - 1).

Bµi 15: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®a thøc P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hÕt cho Q(x) = 3x +2
H.DÉn:
- Ph©n tÝch P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi ®ã:
P(x) chia hÕt cho Q(x) = 3x + 2 khi vµ chØ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta cã:

TÝnh trªn m¸y gi¸ trÞ cña ®a thøc P1(x) t¹i
ta ®­îc m =
Bµi 16: Cho hai ®a thøc P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. T×m m, n ®Ó hai ®a thøc trªn cã nghiÖm chung

H.DÉn:

lµ nghiÖm cña P(x) th× m =
, víi P1(x) = 3x2 - 4x + 5

lµ nghiÖm cña Q(x) th× n =
, víi Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.
TÝnh trªn m¸y ta ®­îc: m =
= ;n =
=
Bµi 17: Cho hai ®a thøc P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) T×m m, n ®Ó P(x), Q(x) chia hÕt cho (x - 2)
b) XÐt ®a thøc R(x) = P(x) - Q(x). Víi gi¸ trÞ m, n võa t×m chøng tá r»ng ®a thøc R(x) chØ cã duy nhÊt mét nghiÖm.
H.DÉn:
a) Gi¶i t­¬ng tù bµi 16, ta cã: m = ;n =
b) P(x)
(x - 2) vµ Q(x)
(x - 2) ( R(x)
(x - 2)
Ta l¹i cã: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), v× x2 + x + 3 > 0 víi mäi x nªn R(x) chØ cã mét nghiÖm x = 2.
Bµi 18: Chia x8 cho x + 0,5 ®­îc th­¬ng q1(x) d­ r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 ®­îc th­¬ng q2(x) d­ r2. T×m r2 ?
H.DÉn:
- Ta ph©n tÝch: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1
q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2
- Dïng l­îc ®å Hoocner, ta tÝnh ®­îc hÖ sè cña c¸c ®a thøc q1(x), q2(x) vµ c¸c sè d­ r1, r2:

1
0
0
0
0
0
0
0
0



1



















1
-1















VËy:

PhÇn II: C¸c bµi to¸n vÒ D·y sè
M¸y tÝnh ®iÖn tö Casio fx - 570 MS cã nhiÒu ®Æc ®iÓm ­u viÖt h¬n c¸c MTBT kh¸c. Sö dông MT§T Casio fx - 570 MS lËp tr×nh tÝnh c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè lµ mét vÝ dô. NÕu biÕt c¸ch sö dông ®óng, hîp lý mét quy tr×nh bÊm phÝm sÏ cho kÕt qu¶ nhanh, chÝnh x¸c. Ngoµi viÖc MTBT gióp cho viÖc gi¶m ®¸ng kÓ thêi gian tÝnh to¸n trong mét giê häc mµ tõ kÕt qu¶ tÝnh to¸n ®ã ta cã thÓ dù ®o¸n, ­íc ®o¸n vÒ c¸c tÝnh chÊt cña d·y sè (tÝnh ®¬n ®iÖu, bÞ chÆn...), dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè, tÝnh héi tô, giíi h¹n cña d·y...tõ ®ã gióp cho viÖc ph¸t hiÖn, t×m kiÕm c¸ch gi¶i bµi to¸n mét c¸ch s¸ng t¹o. ViÖc biÕt c¸ch lËp ra quy tr×nh ®Ó tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè cßn h×nh thµnh cho häc sinh nh÷ng kü n¨ng, t­ duy thuËt to¸n rÊt gÇn víi lËp tr×nh trong tin häc.
Sau ®©y lµ mét sè quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña mét sè d¹ng d·y sè th­êng gÆp trong ch­¬ng tr×nh, trong ngo¹i kho¸ vµ thi gi¶i To¸n b»ng MTBT:
I/ LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y sè:
1) D·y sè cho bëi c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:

trong ®ã f(n) lµ biÓu thøc cña
n cho tr­íc.
C¸ch lËp quy tr×nh:
- Ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí
: 1



- LËp c«ng thøc tÝnh f(A) vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí




1
- LÆp dÊu b»ng:
...
...
Gi¶i thÝch:
1


: ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí







1 : tÝnh un = f(n) t¹i gi¸ trÞ
(khi bÊm dÊu b»ng thø lÇn nhÊt) vµ thùc hiÖn g¸n gi¸ trÞ « nhí
thªm 1 ®¬n vÞ:



1 (khi bÊm dÊu b»ng lÇn thø hai).
* C«ng thøc ®­îc lÆp l¹i mçi khi Ên dÊu

VÝ dô 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi:


Gi¶i:
- Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh­ sau:
1




1

5



1

5

2