Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân đối

Từ toán học có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể của tri thức - ngành nghiên cứu suy luận về lượng, cấu trúc, và sự thay đổi. Lĩnh vực của ngành học về Lịch sử Toán học phần lớn là sự nghiên cứu nguồn gốc của những khám phá mới trong toán học, theo nghĩa hẹp hơn là nghiên cứu các phương pháp và kí hiệu toán học chuẩn trong quá khứ.

Trước thời kì hiện đại và sự phổ biến rộng rãi tri thức trên toàn thế giới, các ví dụ trên văn bản của các phát triển mới của toán học chỉ tỏa sáng ở những vùng, miền cụ thể. Các văn bản toán học cổ nhất từ Lưỡng Hà cổ đại (Mesopotamia) khoảng 1900 TCN (Plimpton 322), Ai Cập cổ đại khoảng 1800 TCN (Rhind Mathematical Papyrus), Vương quốc Giữa Ai Cập khoảng 1300-1200 TCN (Berlin 6619) và Ấn Độ cổ đại khoảng 800 TCN (Shulba Sutras). Tất cả các văn tự này có nhắc đến Định lý Pythagore; đây có lẽ là phát triển toán học rộng nhất và cổ nhất sau số học cổ đại và hình học.

Những cống hiến của Hy Lạp cổ đại với toán học, nhìn chung được coi là một trong những cống hiến quan trọng nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp và chất liệu chủ đề của toán học^[1].

Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học cổ và trung đại là theo sau sự bùng nổ của các phát triển toán học thường là sự ngưng trệ hàng thế kỉ. Bắt đầu vào Thời kì Phục Hưng tại Ý vào thế kỉ 16, các phát triển toán học mới, tương tác với các phát hiện khoa học mới, đã được thực hiện với tốc độ ngày càng tăng, và điều này còn tiếp diễn cho tới hiện tại.

[sửa] Toán học thời sơ khai

[sửa] Nguồn gốc

Rất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy một kiến thức về toán học và đo thời gian dựa trên sao trời. Ví dụ các nhà cổ sinh vật học đã khám phá ra các mảnh đất thổ hoàng trong một hang động ở Nam Phi được trang trí bởi các hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN^[2]. Cũng các di khảo tiền sử được tìm thấy ở châu Phi và Pháp, thời gian khoảng giữa 35000 TCN và 20000 TCN^[3], cho thấy các cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian^[4].

Các bằng chứng còn tồn tại cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu là do phụ nữ, những người giữ các vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, hoặc ba mươi vạch trên xương hoặc hòn đá, theo sau là một vạch cách biệt khác. Hơn nữa, các thợ săn đã có khái niệm về một, hai và nhiều cũng như không khi xem xét số bầy thú^[5][6].

Xương Ishango

Xương Ishango được tìm thấy ở thượng nguồn sông Nil (phía bắc Cộng hòa Dân chủ Congo), thuộc thời kì 20.000 TCN. Bản dịch thông dụng nhất của hòn đá cho ta thấy nó là bằng chứng sớm nhất^[7] thể hiện một dãy các số nguyên tố và phép nhân Ai Cập cổ đại. Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ 5 TCN đã vẽ các bức tranh về thiết kế hình học và không gian. Người ta đã khẳng định các hòn đá tế thần ở Anh và Scotland từ thiên niên kỉ thứ 3 TCN, bao gồm cả các ý tưởng hình học như hình tròn, hình elíp và bộ ba Pythagore trong thiết kế của nó^[8].

Nền toán học sớm nhất từng biết trong Ấn Độ cổ đại nằm vào khoảng 3000 TCN - 2600 TCN ở nền văn minh thung lũng Indus (nền văn minh Harappan) của Bắc Ấn Độ và Pakistan, đã phát triển một hệ thống các đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại sử dụng hệ cơ số 10, một công nghệ gạch đáng ngạc nhiên sử dụng các tỉ lệ, các đường đi được đặt trên một góc vuông hoàn hảo, và một số các hình hình học và thiết kế, bao gồm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình nón, hình trụ và các bức vẽ các hình tròn và hình tam giác cắt nhau và đồng qui. Các dụng cụ toán học tìm được bao gồm một thước đo cơ số 10 với độ chia nhỏ và chính xác, một dụng cụ vỏ sò hoạt động như một chiếc com pa để đo góc trên mặt phẳng hoặc theo các bội của 40-360 độ, một dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần của đường chân trời và bầu trời, và một dụng cụ để đo vị trí của các sao nhằm mục đích định hướng. Bản viết tay Indus vẫn chưa được giải nghĩa; do đó ta biết được rất ít về các dạng viết của toán học Harappan. Các bằng chứng khảo cổ đã làm các nhà sử học tin rằng nền văn minh này đã sử dụng hệ đếm cơ số 8 và đạt được các kiến thức về tỉ lệ giữa chu vi của đường tròn đối với bán kính của nó, do đó tính được số π^[9].

[sửa] Toán học của người Maya

[sửa] Cận Đông cổ đại

[sửa] Lưỡng Hà

Bài chi tiết: Toán học Babylon

Bảng tính vạch trên đất sét YBC 7289 với chú giải chữ số hiện đại

Toán học Babylon là ám chỉ bất kì nền toán học nào thuộc về cư dân Lưỡng Hà (Iraq ngày nay) từ buổi đầu Sumer cho đến đầu thời kì Hy Lạp hóa. Nó được đặt tên là toán học Babylon là do vai trò trung tâm của Babylon là nơi nghiên cứu, nơi đã không còn tồn tại sau thời kì Hy Lạp hóa. Các nhà toán học Babylon đã trộn với các nhà toán học Hy Lạp để phát triển toán học Hy Lạp. Sau đó dưới Đế chế Arab, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt là Baghdad, một lần nữa trở thành trung tâm nghiên cứu quan trọng cho toán học Hồi giáo.

Đối lập với sự thiếu thốn nguồn tài liệu của toán học Hy Lạp, sự hiểu biết về toán học Babylon của chúng ta là từ hơn 400 miếng đất sét khai quật được từ những năm 1850. Viết bằng kí tự Cuneiform, các miếng đất sét này được viết trong khi đất sét còn ẩm, và được nung cứng trong lò hoặc bằng nhiệt từ Mặt Trời. Một số trong đó có vẻ là bài tập về nhà.

Bằng chứng sớm nhất về các văn tự toán học là từ thời những người Sumer cổ đại, những người đã xây nên nền văn minh sớm nhất ở Lưỡng Hà. Họ đã phát triển một hệ đo lường phức tạp từ 3000 TCN. Khoảng 2500 TCN trở về trước, người Sumer đã viết những bảng nhân trên đất sét và giải các bài tập hình học và các bài toán chia. Dấu vết sớm nhất của hệ ghi số Babylon cũng là trong khoảng thời gian này^[10].

Một lượng lớn các tấm đất sét đã được phục hồi là vào khoảng 1800 TCN tới 1600 TCN, và bao gồm các chủ đề về phân số, đại số, phương trình bậc ba và bậc bốn, các tính toán về các bộ ba Pythagore (xem Plimpton 322)^[11]. Các tấm này cũng bao gồm cả bảng nhân, bảng lượng giác và các phương pháp giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai. Tấm đất sét YBC 7289 đã đưa ra một xấp xỉ của số √2 chính xác tới năm chữ số thập phân.

Toán học Babylon được viết bằng hệ cơ số 60. Do việc này mà ngày nay ta sử dụng 60 giây trong một phút, 60 phút trong một giờ và 360 (60 × 6) độ trong một vòng tròn. Các tiến bộ của người Babylon trong toán học phát triển dễ dàng bởi số 60 có rất nhiều ước số. Cũng vậy, không giống người Ai Cập, Hy Lạp và La Mã, người Babylon có một hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, trong đó các chữ số viết ở cột bên trái thể hiện giá trị lớn hơn, giống như hệ thập phân. Thế nhưng họ lại thiếu một kí hiệu tương đương của dấu thập phân, và do đó hàng trong cách viết số thường được suy ra từ ngữ cảnh.

[sửa] Ai Cập

Bài chi tiết: Toán học Ai Cập

Giấy cói Moskva

Giấy cọ Rhind

Toán học Ai Cập là ám chỉ toán học được viết dưới tiếng Ai Cập.

Toán học Ai Cập cổ đại được đánh dấu bởi nhân vật truyền thuyết Thoth, người được coi là đã đặt ra mẫu tự Ai Cập, hệ thống chữ số, toán học và thiên văn học, là vị thần của thời gian.

Từ thời kì Hy Lạp hóa, tiếng Hy Lạp đã thay thế tiếng Ai Cập trong ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập, và từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp nhất với toán học Hy Lạp và Babylon để phát triển toán học Hy Lạp. Nghiên cứu toán học ở Ai Cập sau đó được tiếp tục dưới Đế chế Arab như là một phần của toán học Hồi giáo, khi tiếng Ả Rập trở thành ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập.

Văn tự toán học cổ nhất tìm được cho tới nay là giấy cói Moskva, một văn tự bằng giấy cói của Vương quốc giữa Ai Cập vào khoảng 2000—1800 mà ngày nay ta gọi là "bài toán chữ", rõ ràng là chỉ để giải trí. Một bài toán được coi là quan trọng ở mức nói riêng bởi nó đưa ra phương pháp tìm thể tích của một hình cụt: "Nếu bạn biết: một hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáy lớn 4, diện tích đáy nhỏ 2. Bạn sẽ bình phương số 4 này, được 16. Bạn sẽ nhân đôi 4, được 8. Bạn sẽ bình phương 2, được 4. Bạn sẽ cộng 16, 8, và 4 được 28. Bạn sẽ lấy một phần ba của 6, được 2. Bạn nhân 28 với 2 được 56. Và 56 là số bạn cần tìm."

Eratosthenes

Sàng Eratosthenes lọc số nguyên tố

Giấy cọ Rhind (khoảng 1650 TCN) là một văn bản toán học Ai Cập quan trọng khác, một hướng dẫn trong số học và hình học. Cùng với việc đưa ra các công thức diện tích và phương pháp nhân, chia và làm việc với phân số đơn vị, nó cũng chứa các bằng chứng về các kiến thức toán học khác (xem [2]) bao gồm hợp số và số nguyên tố; trung bình cộng, trung bình nhân và trung bình điều hòa; và hiểu biết sơ bộ về sàng Eratosthenes và số hoàn hảo. Nó cũng chỉ ra cách giải phương trình tuyến tính bậc một cũng như cấp số cộng và cấp số nhân.

Cũng vậy, ba thành phần hình học có trong giấy cọ Rhind nói đến những kiến thức đơn giản nhất của hình học giải tích: (1) Đầu tiên và quan trọng nhất, làm thế nào để xấp xỉ số π chính xác tới dưới một phần trăm; (2) thứ hai, một cố gắng cổ đại trong việc cầu phương hình tròn; (3) và thứ ba, sự sử dụng sớm nhất từng biết về lượng giác.

Cuối cùng, giấy cọ Berlin cũng cho thấy người Ai Cập cổ đại có thể giải phương trình đại số bậc hai.

[sửa] Toán học Hy Lạp và Hy Lạp hóa cổ đại (khoảng 550 TCN-300)

Bài chi tiết: Toán học Hy Lạp

Toán học Hy Lạp là ám chỉ toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp khoảng giữa 600 TCN và 450^[12]. Các nhà toán học Hy Lạp sống ở các thành phố rải rác trên toàn bộ Địa Trung Hải, từ Ý tới Bắc Phi, nhưng lại thống nhất về văn hóa và ngôn ngữ. Toán học Hy Lạp đôi khi được gọi là toán học Hellenistic (Hy Lạp hóa).

Thales xứ Miletus

Toán học Hy Lạp đã trở nên phức tạp hơn rất nhiều so với các nền văn hóa trước đó. Tất cả các ghi chép còn tồn tại của các nền toán học tiền Hy Lạp đều cho thấy việc sử dụng suy luận qui nạp, nghĩa là, các quan sát liên tục được sử dụng để lập nên các phép đo dựa trên kinh nghiệm. Người Hy Lạp sử dụng lí luận logic để đạt được các kết luận từ các định nghĩa và tiên đề^[13].

Định lý Thales-cơ sở cho phép đo hình học và toán học mêtric:

Toán học Hy Lạp dường như bắt đầu với Thales (khoảng 624 - khoảng 546 TCN) và Pythagoras (khoảng 582 — khoảng 507 TCN). Mặc dù tầm ảnh hưởng không còn, họ có thể vẫn phát triển ý tưởng từ toán học Ai Cập, Babylon, và có thể cả Ấn Độ. Theo truyền thuyết, Pythagoras đã chu du tới Ai Cập để học toán học, hình học, và thiên văn từ các đạo sĩ Ai Cập.

Thales đã sử dụng hình học để giải các bài toán như là tính chiều cao của các hình chóp và khoảng cách từ các tàu tới bờ biển. Pythagoras được coi là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho định lý Pythagore, mặc dù phát biểu của định lý đã đi qua một chặng đường lịch sử dài. Trong lời bình luận về Euclid, Proclus phát biểu rằng Pythagoras đã diễn đạt định lý mang tên ông và dựng nên bộ ba Pythagore một cách đại số hơn là hình học. Trường học của Plato có câu khẩu hiệu: "Không để những thứ nông cạn trong hình học vào đây."

Học thuyết Pythagoras đã khám phá ra sự tồn tại của các số hữu tỉ. Eudoxus (408 - khoảng 355 TCN) đã phát minh ra phương pháp vét cạn, tiền thân của khái niệm hiện đại tích phân. Aristotle (384 - khoảng 322 TCN) đã lần đầu viết ra các luật về logic. Euclid (khoảng 300 TCN) là ví dụ sớm nhất của một khuôn mẫu mà vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh. Ông cũng nghiên cứu về các đường conic. Cuốn sách của ông, Cơ bản, được tất cả những người có học biết đến ở phương Tây cho đến giữa thế kỉ 20^[14]. Thêm vào các định lý quen thuộc của hình học, như định lý Pythagore, Cơ bản còn có cả chứng minh rằng căn bậc hai của hai là số vô tỉ và có vô hạn số nguyên tố. Sàng Eratosthenes (khoảng 230 TCN) đã được sử dụng để tìm các số nguyên tố.

Một số người nói rằng người vĩ đại nhất trong các nhà toán học Hy Lạp, nếu không muốn nói là mọi thời đại, là Archimedes (287—212 TCN) xứ Syracuse. Theo như Plutarch, ở tuổi 75, trong khi đang vẽ các công thức toán học ở trên cát, ông đã bị một tên lính La Mã dùng giáo đâm chết. Roma cổ đại để lại ít bằng chứng về sự quan tâm vào toán học lý thuyết.

[sửa] Toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng 1500 TCN-200 CN)

Bài chi tiết: Toán học Ấn Độ

Toán học Vedic bắt đầu vào đầu thời kì Đồ Sắt, với Shatapatha Brahmana (khoảng thế kỉ 9 TCN), trong đó có xấp xỉ số π chính xác tới 2 chữ số thập phân^[15] và Sulba Sutras (khoảng 800-500 TCN) là các văn bản hình học sử dụng số vô tỉ, số nguyên tố, luật ba, và căn bậc ba; tính căn bậc hai của 2 tới năm chữ số thập phân; đưa ra phương pháp cầu phương hình tròn, giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai; phát triển bộ ba Pythagore theo phương pháp đại số, phát biểu và nêu chứng minh cho Định lý Pythagore.

Pāṇini (khoảng thế kỉ 5 TCN) đã lập công thức cho ngữ pháp của tiếng Phạn. Kí hiệu của ông tương tự với kí hiệu toán học, và sử dụng các ngôn l